\documentclass[10pt,norsk,fleqn]{article}

\RequirePackage{amsthm,amsmath,amsfonts}
\RequirePackage{bm}

\usepackage{enumerate}
\usepackage{paralist}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{color}
\newcommand{\E}{\mbox{E}}
\newcommand{\sd}{\mbox{sd}}
\newcommand{\Var}{\mbox{Var}}

\usepackage{url}
\usepackage{parskip}

\newcommand{\B}{\boldsymbol}

\setlength{\tabcolsep}{1pt}

\begin{document}
\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}
\begin{center}
\section*{Obligatorisk øving for STK1110, Høsten 2023}
\subsection*{Øving 2 av 2}
\end{center}

\subsubsection*{Innleveringsfrist}

Torsdag 9. november 2023, klokken 14:30 i Canvas (\url{canvas.uio.no}).

\subsubsection*{Instruksjoner}

Du velger selv om du skriver besvarelsen for hånd og scanner besvarelsen
eller om du skriver løsningen direkte inn på datamaskin (for eksempel ved
bruk av Latex). Besvarelsen skal leveres som \textbf{én PDF-fil}. Scannede
ark må være godt lesbare. Besvarelsen skal inneholde navn, emne og
oblignummer.

Det forventes at man har en klar og ryddig besvarelse med \emph{tydelige
begrunnelser}. Husk å inkludere alle relevante plott og figurer. Det er
kun \textbf{ett forsøk}, og det er dermed ikke mulighet til å levere en
revidert besvarelse dersom en ikke består. Samarbeid og alle slags
hjelpemidler er tillatt, men den innleverte besvarelsen skal være skrevet
av deg og reflektere din forståelse av stoffet. Er vi i tvil om du
virkelig har forstått det du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig
redegjørelse. I oppgaver der du blir bedt om å programmere må du legge ved
programkoden og levere den sammen med resten av besvarelsen.

\subsubsection*{Søknad om utsettelse av innleveringsfrist}

Hvis du blir syk eller av andre grunner trenger å søke om utsettelse av
innleveringsfristen, må du ta kontakt med studieadministrasjonen ved
Matematisk institutt (e-post:
\href{mailto:studieinfo@math.uio.no}{studieinfo@math.uio.no}) i god
tid før innleveringsfristen. For å få adgang til avsluttende eksamen i
dette emnet, må en bestå alle obligatoriske oppgaver i ett og samme
semester.

\subsubsection*{Spesielt om dette oppgavesettet}

Du skal bruke programpakken R til å gjøre beregninger i oppgavene, og du
må angi hvilke kommandoer du har brukt for å komme fram til svarene
dine. For å få godkjent besvarelsen, må du ha minst $65\%$ riktig på hver
av de 4 oppgavene.

\subsubsection*{For fullstendige retningslinjer for innlevering av obligatoriske oppgaver,
se her:}
\url{www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}

\begin{center}
  LYKKE TIL!
\end{center}  
\newpage

\subsubsection*{Oppgave 1}

Et oppdrettsanlegg for kveite har testet to ulike f\^ortyper i en sommersesong. Småfisk i en merde ble fordelt tilfeldig på to andre merder, og ble f\^oret med f\^or av ulik type. I september trekkes det ut 14 tilfeldige fisk fra hver merde. Gir dataene grunnlag for å konkludere at f\^or B gir fisk med størst vekt?

Dataene\footnote{Hentet fra Gunnar Løvås: Statistikk: for universiteter og høgskoler 1999} finnes som \texttt{"kveite\_for.txt"} i mappen\\
\texttt{/studier/emner/matnat/math/STK1110/data/} og kan leses inn med komandoene
\begin{verbatim}
dir = "/studier/emner/matnat/math/STK1110/data/"
d = read.table(paste(dir,"kveite_for.txt",sep=""),header=T)
\end{verbatim}
Dataene er også gitt i tabellen nedenfor.,



\begin{table}[ht]
\centering
{\footnotesize
\begin{tabular}{c|rrrrrrrrrrrrrr}
  \hline
Fortype & \multicolumn{14}{c}{Vekt (kg) av kveite}\\ 
  \hline
A & 15.16 & 17.28 & 12.33 & 11.86 & 16.31 & 12.08 & 9.96 & 16.18 & 15.96 & 18.75 & 15.35 & 19.52 & 16.88 & 13.90 \\ 
B & 17.73 & 16.03 & 14.85 & 18.18 & 17.08 & 19.06 & 15.64 & 18.29 & 23.41 & 14.22 & 17.35 & 16.89 & 16.59 & 18.54 \\ 
   \hline
\end{tabular}
}
\end{table}



\begin{enumerate}
\item Lag et boksplott som viser fordelingen av observasjonene. Kommentér hva
du finner.
\item Lag normalfordelingsplott for de to observasjonssettene, altså ett for f\^ortype A og ett for f\^ortype. Kommentér hva du ser.
\end{enumerate}
I resten av oppgaven antar vi at observasjonene er realisasjoner av
normalfordelte variabler. 
%I (c) og (d) skal du forklare hvordan tester og
%konfidensintervaller konstrueres, og sette inn i formlene du utleder. Sjekk
%deretter svarene du får mot R-prosedyren \texttt{t.test()}.
\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}
\item Anta at variansen er den samme for de to utvalgene. 

Formuler en null-hypotese $H_0$ og en alternativ hypotese $H_a$ for å kunne konkludere om f\^or A gir fisk med størst vekt.

Skriv ned  testobservatoren du vil bruke for å teste hypotesene mot hverandre. Hva slags fordeling har denne testobservatoren?

\item Bruk testobservatoren fra (c) til å utføre testen med
signifikansnivå $5\%$. Beregn også P-verdien.

Sammenlikn resultatene du får med et direkte kall på R-prosedyren \texttt{t.test()}.

Diskutér og forklar resultatene. 
\item Gjennomfør testen og beregn P-verdien også i det tilfellet der en ikke
antar felles varians. 

Gjennomfør også en test for å sjekke om det er noen grunn til å
påstå at variansene er forskjellige.

Diskutér og forklar resultatene. 
%\item Utled og gjennomfør en F-test for å sjekke om det er noen grunn til å
%påstå at variansene er forskjellige. Sjekk mot \texttt{var.test()} i R.
\item Lag nå en vektor $\bm y$ som består av alle de 14+14=28 observasjonene. 
Definer en vektor $\bm x$ av lengde 28 der $x_i=0$ hvis observasjon $y_i$ tilhører f\^ortype A mens $x_i=1$ hvis observasjon $y_i$ tilhører f\^ortype B. Analyser nå dataene med 
en lineær regresjonsmodell
\[
Y_i=\beta_0+\beta_1x_i+\varepsilon_i
\]
der vi antar $\varepsilon_i\stackrel{uif}{\sim}N(0,\sigma^2)$.

Forklar hvorfor P-verdien knyttet til forklaringsvariabelen x blir dobbelt så stor som P-verdien du fikk i (c).
 
\end{enumerate}

\subsubsection*{Oppgave 2}
Siden eneggede tvillinger har samme genetiske materiale, brukes såkalte
tvilling\-studier til å kartlegge hvordan miljøet virker inn på ulike
egenskaper. I en bok av den amerikanske forskeren Susan Faber finner vi data
for $n = 31$ tvillingpar, der den ene tvillingen vokste opp hos biologiske
foreldre (Twin A) og den andre vokste opp hos andre familiemedlemmer, foster-
eller adoptivforeldre (Twin B). Nedenfor finnes en oppsummering av målt IQ
for disse personene. Spørsmålet vi ønsker å belyse er om det er forskjell i
IQ hos eneggede tvillinger der den ene tvillingen har vokst opp hos
biologiske foreldre, og den andre ikke.
\begin{verbatim}
              N    Mean  StDev  SE Mean
Twin A       31   93.32  15.41     2.77
Twin B       31   96.58  13.84     2.49
Difference   31   -3.26   8.81     1.58
\end{verbatim}

\begin{enumerate}
\item Begrunn hvorfor en paret sammenligning er best egnet i denne situasjonen.
Beskriv kort hvilke antakelser vi må legge til grunn for videre analyse.
\item Kall forventet forskjell mellom Twin A og Twin B for $\mu_{D}$. Sett opp
nullhypotese og alternativ hypotese for å besvare spørsmålet om forskjell i IQ.
Finn en egnet testobservator, og beregn dennes verdi. Beregn så tilhørende
p-verdi. Spesifisér antall frihetsgrader i fordelingen du bruker. Formulér din
konklusjon på testen.
\item Finn et $95\%$ konfidensintervall for $\mu_{D}$. Hva betyr det at dette
intervallet dekker kun negative verdier? Forklar kort om sammenhengen mellom
tosidig testing og konfidensintervaller.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Oppgave 3}
En undersøkelse presentert i Aftenposten slo opp på førstesiden at
småbarns\-fedrene nå opplever tidsklemma (mellom familie og arbeidsliv) sterkere
enn småbarnsmødrene. Undersøkelsen bygde på intervjuer med $3000$ kvinner og
$3000$ menn som har barn i rett alder. $16.2\%$ av fedrene (dvs. $486$
personer) opplevde ofte tidsklemmeproblemer, mens $14.7\%$ (dvs. $441$
personer) av mødrene opplevde det samme.

\begin{enumerate}
\item Er forskjellen mellom mødre og fedre signifikant? Formulér hypoteser,
beregn en p-verdi, og konkludér. Kommentér kort.
\item Kontrollér svaret ditt ved å bruke \texttt{prop.test()} i R.
\end{enumerate}  

\subsubsection*{Oppgave 4}
Tabellen nedenfor angir $18$ målinger av snømengde om vinteren i et fjellområde
og vannstanden i en elv i samme område etter snøsmelting om våren. De $18$
målingene representerer $18$ sesonger spredd over en lengre tidsperiode. Her er
vannstanden, som er angitt i tommer, respons- eller avhengig variabel, mens
snømengden, målt ved noe som heter vannekvivalens, er forklaringsvariabel. 
Sammenhengen mellom snømengde og vannstand er viktig for bl.a. prediksjon av
vannføring og flomfare. Dataene finnes i fila \texttt{snoe\_vann.txt} på
kursets hjemmeside. De kan leses inn i R med følgende kommandoer:
\begin{verbatim}
dir = "/studier/emner/matnat/math/STK1110/data/"
d = read.table(paste(dir,"snoe_vann.txt",sep=""),header=F)
names(d) = c("Snoinnhold","Vannstand")
\end{verbatim}
\begin{table}[h]
\begin{tabular}{ll}
\hline
Snøinnhold & Vannstand \\
\hline
23.1 & 10.5\\
32.8 & 16.7\\
31.8 & 18.2\\
32.0 & 17.0\\
30.4 & 16.3\\
24.0 & 10.5\\
39.5 & 23.1\\
24.2 & 12.4\\
52.5 & 24.9\\
37.9 & 22.8\\
30.5 & 14.1\\
25.1 & 12.9\\
12.4 & 8.8 \\
35.1 & 17.4\\
31.5 & 14.9\\
21.1 & 10.5\\
27.6 & 10.5\\
27.6 & 16.1
\end{tabular}
\end{table}

\begin{enumerate}
\item Beskriv en enkel lineær regresjonsmodell for sammenhengen mellom
snømengde og vannstand. Tilpass en regresjonslinje til dataene ovenfor ved
hjelp av R-funksjonen \texttt{lm()}. Plott observasjonene og den tilpassede
regresjonslinja. Virker estimatene for koeffisientene rimelige?
\item Plott residualene mot forklaringsvariabelen. Lag også et
normalfordelingsplott av residualene. Hvordan vurderer du modellens egnethet?
\item Beregn et estimat for variansen til feilleddene. Konstruér et $95\%$
konfidens\-intervall for stigningstallet  $\beta_1$.
\item Utled en test for $H_0: \beta_0 = 0$ mot $H_1: \beta_0 \neq 0$ med
signifikansnivå $5\%$. Gjennomfør testen. Hva er p-verdien?
Sammenlign med resultatene fra \texttt{lm()}.

Hvorfor kan det være rimelig med $\beta_0=0$ i dette tilfellet?
\item Prøv så ut en lineær regresjonsmodell med andregrads og tredjegrads polynomer. 

Hvilken modell vil du foretrekke? Begrunn svaret.
\end{enumerate}

\vspace*{1cm}
SLUTT
\end{document}