\documentclass[11pt,fleqn,a4paper]{article}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{cmap}
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{amsthm,amsmath,amsfonts}
\RequirePackage{bm}


\usepackage{enumerate}
%\usepackage{enumitem}
\usepackage{paralist}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{hyperref}

\usepackage{color}
\newcommand{\E}{\mbox{E}}
\newcommand{\sd}{\mbox{sd}}
\newcommand{\V}{\mbox{V}}

\usepackage{url}
\usepackage{parskip}
\usepackage{listings}

\newcommand{\B}{\boldsymbol}

\begin{document}

\begin{center}
\section*{Obligatorisk øving for STK1110, Høsten 2023}
\subsection*{Øving 1 av 2}
\end{center}

\subsubsection*{Innleveringsfrist}

Torsdag 5. oktober 2023, klokken 14:30 i Canvas (\url{canvas.uio.no}).

\subsubsection*{Instruksjoner}

Du velger selv om du skriver besvarelsen for hånd og scanner besvarelsen
eller om du skriver løsningen direkte inn på datamaskin (for eksempel ved
bruk av Latex). Besvarelsen skal leveres som \textbf{én PDF-fil}. Scannede
ark må være godt lesbare. Besvarelsen skal inneholde navn, emne og
oblignummer.

Det forventes at man har en klar og ryddig besvarelse med tydelige
begrunnelser. Husk å inkludere alle relevante plott og figurer. Det er
kun \textbf{ett forsøk}, og det er dermed ikke mulighet til å levere en
revidert besvarelse dersom en ikke består. Samarbeid og alle slags
hjelpemidler er tillatt og det er spesielt mulig å få hjelp på gruppene. 
Den innleverte besvarelsen skal imidlertid være skrevet
av deg selv og reflektere din forståelse av stoffet. Er vi i tvil om du
virkelig har forstått det du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig
redegjørelse. I oppgaver der du blir bedt om å programmere må du legge ved
programkoden og levere den sammen med resten av besvarelsen.

\subsubsection*{Søknad om utsettelse av innleveringsfrist}

Hvis du blir syk eller av andre grunner trenger å søke om utsettelse av
innleveringsfristen, må du ta kontakt med studieadministrasjonen ved
Matematisk institutt (e-post:
\href{mailto:studieinfo@math.uio.no}{studieinfo@math.uio.no}) i god
tid før innleveringsfristen. For å få adgang til avsluttende eksamen i
dette emnet, må man bestå alle obligatoriske oppgaver i ett og samme
semester.

\subsubsection*{Spesielt om dette oppgavesettet}

Du \textbf{skal bruke programpakken R} til å gjøre beregninger i oppgavene,
og du må angi hvilke kommandoer du har brukt for å komme fram til svarene
dine. For å få godkjent besvarelsen, må du ha gjort et hederlig forsøk på
besvare begge oppgavene (Oppgave 1 og 2).

\subsubsection*{For fullstendige retningslinjer for innlevering av obligatoriske oppgaver,
se her:}
\url{www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}

\begin{center}
  LYKKE TIL!
\end{center}  

\subsubsection*{Oppgave 1}
Fila {\scriptsize\url{/studier/emner/matnat/math/STK1110/data/forsikringskrav.txt}}\\
inneholder $6377$ bilforsikringskrav til et norsk forsikringsselskap et gitt år.
Figur~\ref{fig:oppg_1} viser et histogram og et kvantilplott av disse
dataene. Vi ser at de åpenbart ikke er normalfordelt. 
\begin{figure}[h]
\begin{tabular}{c@{\quad}c}
 \includegraphics[width=0.5\textwidth]{qq.pdf}&
 \includegraphics[width=0.5\textwidth]{hist.pdf}\\
% \includegraphics[width=0.5\textwidth]{qq_log.pdf}&
% \includegraphics[width=0.5\textwidth]{hist_log.pdf}
\end{tabular}
\caption{Kvantilplott (til venstre) og et histogram (til høyre) av forsikringskravene $x_{1},\ldots,x_{n}$. 
%Nedre rad viser et kvantilplott (til venstre) og et histogram (til høyre) av de loggede forsikringskravene $y_{1},\ldots,y_{n}$, med $y_{i}=\log(x_{i})$.
}
\label{fig:oppg_1}
\end{figure}

Siden dataene alltid er positive, er en mer rimelig modell Gamma fordelingen. Anta derfor alle observasjoner er uavhengige og identisk fordelte med sannsynlighetstetthet
\[
f(x;\alpha,\gamma)=\frac{\gamma^\alpha}{\Gamma(\alpha)}x^{\alpha-1}e^{-\gamma x},\quad \alpha,\gamma>0.
\]
Merk at denne definisjonen er noe anderledes enn slik den er definert i boka (likning (4.6)) ved at den er representert ved rate parameteren $\gamma$ istedet for skala parameteren $\beta=1/\gamma$. For denne parametriseringen har man at
\begin{align*}
E[X]=\frac{\alpha}{\gamma},\quad V[X]=\frac{\alpha}{\gamma^2}.
\end{align*}



\renewcommand{\labelenumi}{(\alph{enumi})}

\begin{enumerate}
\item Utled moment-estimatorene for $\alpha$ og $\gamma$. Gitt moment-estimatorene for $\alpha$ og $\beta$ (gitt i boka), er disse resultatene rimelige? 

 Beregn momentestimatorene basert på forsikringsdataene.
\item Skriv ned log-likelihood funksjonen og beregn log-likelihood verdien basert på dine estimater for $\alpha,\gamma$.
\item La oss nå se på maksimum likelihood estimatorene for $\alpha,\gamma$. Her eksisterer det ikke noe analytisk uttrykk. Vis imidlertid at for gitt $\alpha$, så er det et analytisk uttrykk for maksimum likelihood estimatoren for $\gamma$ (som en funksjon av $\alpha$). 

Utled dette uttrykket. Vis at dette svarer til moment-estimatoren for $\gamma$ (for gitt $\alpha$).
\item For å finne maksimum likelihood estimate for $\alpha$ må en imidlertid bruke numerisk optimering. Nedenfor er en funksjon som beregner (negativ) log-likelihood verdi for en gitt verdi av $\alpha$ der maksimum likelihood estimatet for $\gamma$ er satt inn.
\begin{verbatim}
negloglikgamma = function(logalpha,x=x)
{
 n = length(x)
 alpha=exp(logalpha)
 gamma = alpha/mean(x)
 logL = n*alpha*log(gamma)-n*lgamma(alpha)+
         (alpha-1)*sum(log(x))-gamma*sum(x)
 -logL
}
\end{verbatim}
Selve optimeringen kan gjøres ved kommandoen
\begin{verbatim}
fit.ml=optim(log(alpha0),negloglikgamma,x=x,method="BFGS")
\end{verbatim}
der \verb+alpha0+ er en initial verdi for $\alpha$ (f.eks moment-estimatoren). Opsjonen \verb+method="BFGS"+ angir
hvilken optimeringsmetode som brukes (se \verb+help(optim)+).

Forklar hvorfor en bør ha $\log(\alpha)$ som input til funksjonen og ikke $\alpha$ selv.

Bruk denne funksjonen til å finne maksimum likelihood estimater for $(\alpha,\gamma)$. Beregn log-likelihood verdien for dette settet av estimater. 
Er denne verdien rimelig i forhold til den verdi du fikk i (b)? 
\item Basert på ikke-parametrisk bootstrapping, finn anslag på standard feil for maksimum likelihood estimatene for $\alpha$ og $\gamma$. 

Bruk dette til å lage 95\% konfidens-intervaller for $\alpha$ og $\gamma$.

Hint: Kommandoen \verb+quantile(z,c(0.025,0.975))+ gir deg nedre og øvre empiriske 2.5\% kvantiler i datavektoren \verb+z+.
\item Anta nå vi er mer interessert i $E[X_i]=\mu=\alpha/\gamma$. Bruk dine bootstrap simuleringer til å lage et 95\% konfidensintervall for $\mu$.

Anta vi ønsker å teste hypotesene
\[
H_0:\mu=25\text{ mot } H_a:\mu\neq 25
\] 
med et signifikansnivå $\alpha=0.05$
Hva blir konklusjonen på en slik test?

Hvis du endrer signifikansnivået til $\alpha=0.01$, hva blir så konklusjonen?

Basert på dette, hva kan du si om P-verdien for testen?


\end{enumerate}

\subsubsection*{Oppgave 2}

En av de viktigste ingrediensene i såkalt ’supermat’ er blåbær. At blåbærene
regnes som supermat, skyldes at fargestoffet antocyan, som gjør bærene blå, er
en kraftig antioksidant.

I forbindelse med en studie av antioksidanter og antocyaner, ble innholdet av
antocyan i 15 beger med blåbær målt. De målte verdiene var (i mg per 100 gram
bær):\\

\begin{center}
525 587 547 558 591 531 571 551 566 622 561 502 556 565 562
\end{center}

Vi antar at målingene kan betraktes som realisasjoner av uavhengige normal-
fordelte variabler med forventning $\mu$ og varians $\sigma^{2}$.

\begin{enumerate}
\item Lag et $95\%$ konfidensintervall for forventet antocyaninnhold $\mu$
basert på målingene over.
\item På Wikipedia kan vi lese at forventet antocyaninnhold i blåbær er $558$
mg/100g. Nå skal du bruke simuleringer til å late som om du måler antocyan
i $15$ prøver med blåbær veldig mange ganger. Generér $10\,000$ datasett,
hvert av størrelse $n = 15$, bestående av observasjoner av de stokastiske
variablene $X_{1},\ldots,X_{15} \overset{uif}{\sim} N(\mu,\sigma)$ der $\mu=558$ og $\sigma=30$. Du kan
bruke \texttt{rnorm()}-funksjonen i R til dette. Selv om du har simulert
fra en fordeling med kjent forventning og varians, skal du late som om
begge disse er ukjent i det følgende. Lag et $95\%$ konfidensintervall for
$\mu$ som i punkt a), basert på hvert av de simulerte datasettene, slik at
du får $10\,000$ intervaller. Tell opp andelen av disse intervallene som
inneholder verdien $558$. Kommentér og forklar.
\item Bruk nå i stedet det tilnærmede intervallet for store utvalg, altså
\[
\left(\bar{X}-1.96\frac{S}{\sqrt{15}},\bar{X}+1.96\frac{S}{\sqrt{15}}\right)
\]
med
\[
\bar{X} = \frac{1}{15}\sum_{i=1}^{15}X_{i} \text{ og } S^{2} = \frac{1}{15-1}\sum_{i=1}^{15}\left(X_{i}-\bar{X}\right)^{2},
\]
og beregn dette for hvert av $10\,000$ datasett, generert som i b). Hvor stor
andel av intervallene inneholder $\mu = 558$? Kommentér og forklar resultatet.
\item Trekk $10\,000$ datasett som i (b) og lag et $95\%$ konfidensintervall
for $\sigma$ for hvert av dem. Hvor stor andel av intervallene inneholder
$\sigma = 30$?
\item Under antakelsen om normalfordeling er
$Z_{i}=\frac{X_{i}-\mu}{\sigma} \sim N(0,1)$, $i=1,\ldots,n$, med $\mu=558$
og $\sigma=30$. Anta nå at $Z_{1},\ldots,Z_{15}$ i virkeligheten er t-fordelt
med $7$ frihetsgrader, altså $Z_{1},\ldots,Z_{15} \overset{uif}{\sim} t_{7}$.
Trekk nå $10\,000$ datasett fra denne fordelingen ved å
\begin{enumerate}[1.]
\item trekke $z_{1},\ldots,z_{15}$ fra $t_{7}$ med R-funksjonen \texttt{rt()}
\item la $x_{i}=\mu+\sigma z_{i}$, $i=1,\ldots,n$. 
\end{enumerate}
Gjenta deretter oppgave b) med de nye datasettene. Hvor robust er
metoden for å lage konfidensintervall for forventningsverdien for antakelsen
om normalfordeling?
\item Trekk datasett som i (e) og lag deretter $95\%$konfidenintervall
for standardavviket til $X_{i}$ slik som i (d). Merk imidlertid at
$\V(Z_{i}) = \frac{7}{7-2}$ slik at variansen til $X_{i}$ nå er
$\tilde{\sigma}^{2} = \V(X_{i}) = \V(\mu+\sigma Z_{i}) = \sigma^{2}\V(Z_{i}) = 1.4\sigma^{2}$.
Det er altså $\tilde{\sigma}$ du skal lage konfidensintervall for, og
sjekke andelen intervaller som inneholder $\tilde{\sigma}$. Sammenlign
med resultatene fra (d) og kommentér.
\end{enumerate}

\end{document}