\input OBLIGmacro

\magnification=1200

\centerline{{\bf MAT1120 H23}}

\vskip.2cm

\centerline{{\bf Obligatorisk oppgavesett nr.~1 (av 2)}}

\vskip.3cm

\centerline{Innleveringsfrist:
Torsdag 21.~september 2023, klokken 14:30 i Canvas (canvas.uio.no).}

\vskip1cm

\centerline{{\bf Instruksjoner}}

\vskip.2cm

\noindent
Du velger selv om du skriver besvarelsen for h\aa{}nd og scanner den, eller om
du skriver den direkte inn p\aa{} datamaskin (for eksempel ved bruk av \TeX{} eller LaTeX).
Besvarelsen skal leveres som \' en PDF-fil. Scannede ark m\aa{} v\ae{}re godt lesbare. Besvarelsen skal innholde navn, emne og oblignummer. Det forventes at man har en klar og ryddig besvarelse med tydelige begrunnelser.
Husk \aa{} inkludere alle relevante plott og figurer.

I oppgaver der du bruker Matlab/Python, m\aa{} du legge ved 
utskrift av kj\o ring og eventuell programkode sammen med resten av besvarelsen. Det er viktig at du ogs\aa{}
leverer et kj\o{}reeksempel dersom du blir bedt om det, for at det skal v\ae{}re mulig \aa{} se
hvilket resultat programmet gir. En besvarelse som viser mangelfulle Matlabferdigheter
kan bli underkjent selv om den tilfredsstiller de andre kriteriene.
Det er tillatt \aa{} bruke Python i stedet for Matlab, men husk at det vil kunne
bli stilt sp\o{}rsm\aa{}l som krever kjennskap til Matlab p\aa{} eksamen.

\vskip.3cm

\noindent Samarbeid og alle slags hjelpemidler er tillatt, men den innleverte
besvarelsen skal v\ae{}re skrevet av deg og reflektere din forst\aa{}else av stoffet. Er
vi i tvil om du virkelig har forst\aa{}tt det du har levert inn, kan vi be deg om en
muntlig redegj\o{}relse.

\vskip.3cm

\noindent Hvis du blir syk eller av andre grunner trenger \aa{} s\o{}ke om utsettelse
av innleveringsfristen, m\aa{} du ta kontakt med studieadministrasjonen ved
Matematisk institutt (e-post: studieinfo@math.uio.no) senest samme dag som innleveringsfristen.
Vitenskapelig ansatte kan ikke innvilge utsettelser.
For \aa{} f\aa{} adgang til avsluttende eksamen i dette emnet, m\aa{} man best\aa{} alle
obligatoriske oppgaver i ett og samme semester.

\vskip.3cm

\noindent For fullstendige retningslinjer for innlevering av obligatoriske
oppgaver, se her:

\vskip.3cm

\centerline{www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}

\vskip.8cm

\centerline{LYKKE TIL!}

\vfill

\eject

\noindent {\bf Oppgave 1}

\vskip.3cm

\noindent La $V$ v\ae re mengden av alle funksjoner $f:{\bf R}\to{\bf R}$ som oppfyller det gitte kravet. Avgj\o r om $V$ blir et vektorrom n\aa r vi utstyrer det vektoraddisjonen definert ved $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$ alle $f,g\in V$ og 
skalarmultiplikasjonen definert ved $(af)(x)=a\cdot f(x)$ for 
alle $f\in V$ og $a\in{\bf R}$.

\vskip.2cm

\item{a)}Krav: $f(1)\geq 0$

\vskip.2cm

\item{b)}Krav: $f$ er deriverbar

\vskip1cm

\noindent {\bf Oppgave 2}

\vskip.3cm

\noindent La $A$ v\ae re matrisen gitt ved 
$$
A=\Matrix{2&4&6&0\cr 1&2&3&0\cr 0&3&3&-3\cr}
$$
og definer line\ae rtransformasjonen $T:{\bf R}^4\to{\bf R}^3$ ved 
$$
T(\x)=(x_1,x_2,x_3,x_4)=T\Big(\Matrix{x_1\cr x_2\cr x_3\cr x_4}\Big)=A\cdot
\Matrix{x_1\cr x_2\cr x_3\cr x_4}
$$

\item{a)}Fra pensum vet vi at kjernen  $\Ker T$ til $T$ er et underrom av ${\bf R}^4$. Finn en basis for $\Ker T$.
Forklar kort hvorfor $\Ker T$ blir det samme som nullrommet til matrisen $A$.

\vskip.2cm

\item{b)}Fra pensum vet vi at rekkevidden $\Ran T$ til $T$ er et underrom av ${\bf R}^3$. Finn en basis for $\Ran T$.
Forklar kort hvorfor $\Ran T$ blir det samme som s\o ylerommet $\Col A$ til matrisen $A$, alts\aa\ bildet til $A$. 

\vskip.2cm

\item{c)}Finn den generelle l\o sningen av ligningssystemet 
$$
A\x=\b\hskip.5cm \hbox{der}\hskip .5cm \b=\Matrix{5\cr 0\cr 0}
$$

\vskip.2cm

\item{d)}Finn den generelle l\o sningen av ligningssystemet 
$$
A\x=\c\hskip.5cm \hbox{der}\hskip .5cm \c=\Matrix{2\cr 1\cr 1}
$$
\item{e)}Lag en figur som viser hvordan $\Ran T$, vektoren $\b=(5,0,0)$ og vektoren $\c=(2,1,1)$ ligger i ${\bf R}^3$.

\vskip1cm

\noindent {\bf Oppgave 3}

\vskip.3cm

\noindent Finn en $(2\times2)$-matrise $A$ slik at
$$
\v_1=\Matrix{1\cr 1\cr}
$$
er en egenvektor for $A$ med egenverdi lik datoen ($1,...,31$) du ble f\o dt, og 
$$
\v_2=\Matrix{1\cr 2\cr}
$$
er en egenvektor for $A$ med egenverdi lik m\aa neden ($1,...,12$) du ble f\o dt. 

\vskip1.5cm

\noindent {\bf Oppgave 4}

\vskip.3cm

\item{a)}Vis at dersom $\v$ er en egenvektor for $(n\times n)$-matrisen $M$ med egenverdi $\lambda$, s\aa\ er 
$\v$ en egenvektor for matrisen 
$$
M^3+17M^2-5M+13I
$$
med egenverdi 
$$
\lambda^3+17\lambda^2-5\lambda+13,
$$
der $I$ er identitetsmatrisen av st\o rrelse $(n\times n)$. 

\vskip.3cm

\item{b)}Vis at hvis $\lambda$ er en egenverdi for matrisen
$$
A=\Matrix{1&1\cr 0&1},
$$
s\aa\ m\aa\ $\lambda$ oppfylle likningen 
$$
\lambda^2-2\lambda+1=0.
$$
Dette kalles {\it den karakteristiske ligningen\/} til $A$. 
Begrunn at $A$ ikke har noen egenbasis, dvs.~begrunn at det ikke finnes noen basis for ${\bf R}^2$ best\aa ende av egenvektorer for $A$. 

\vskip.3cm

\item{c)}{\it Cayley-Hamiltons teorem\/} sier at alle kvadratiske matriser tilfredsstiller sin egen karakteristiske ligning, selv matriser som ikke har en egenbasis. Sjekk at dette holder for matrisen $A$, dvs.~vis at
$$
A^2-2A+I=0,
$$
der $I$ er identitetsmatrisen, og 0 p\aa\ h\o yre side st\aa r for nullmatrisen.

\vfill\eject

\noindent {\bf Oppgave 5}

\vskip.3cm

\item{a)}Vis at mengden av reelle $(2\times 2)$-matriser blir et vektorrom $V$ n\aa r vi bruker vanlig addisjon av matriser
og multiplikasjon av matriser med reelle tall som vektorroms\-operasjoner.

\vskip.2cm

\item{b)}Vis at
$$
B=\left\lbrace \Matrix{1&0\cr 0&0\cr},\Matrix{0&1\cr 0&0\cr},\Matrix{0&0\cr 1&0\cr},\Matrix{0&0\cr 0&1\cr}
\right\rbrace
$$
er en basis for vektorrommet $V$. Hva er dimensjonen til $V$?

\vskip.35cm

\noindent La $\theta\in{\bf R}$. Definer funksjonen $T:V\to V$ ved at 
$$
T(A)=\Matrix{\cos\theta&-\sin\theta\cr \sin\theta&\cos\theta}\cdot A\hskip.5cm\hbox{for alle matriser $A\in V$.}
$$
\item{c)}Vis at $T$ er en line\ae rtransformasjon. Beskriv kort hva som er sammenhengen mellom bildet (s\o ylerommet) til matrisen $A$ og bildet (s\o ylerommet) til matrisen $T(A)$.

\vskip.2cm

\item{d)}(NB: Stoffet du trenger for \aa\ l\o se denne, er ferdig gjennomg\aa tt p\aa\ forelesningen torsdag 14.~september.) Vis at matrisen $[T]_B$ til $T$ i basisen $B$ er gitt ved 
$$
[T]_B=\Matrix{\cos\theta&0&-\sin\theta&0\cr 0&\cos\theta&0&-\sin\theta\cr
\sin\theta&0&\cos\theta&0\cr 0&\sin\theta&0&\cos\theta\cr}
$$

\vskip 1cm

\centerline{SLUTT}

\bye