\documentclass[11pt,
               a4paper,
               article,
               oneside,
               oldfontcommands,
               norsk]{memoir}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage[scaled]{beramono}
\usepackage[final]{microtype}
\usepackage{amssymb}
\usepackage{mathtools}
\usepackage{amsthm}
\usepackage{thmtools}
\usepackage{babel}
\usepackage{csquotes}
\usepackage{listings}
%\lstset{basicstyle = \ttfamily}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{siunitx}
\usepackage{xcolor}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[colorlinks, allcolors = uiolink]{hyperref}




% Makroer for oppgaver
\newcounter{probnum}[section]
\newcounter{subprobnum}[probnum]

\newenvironment{oppgaver}{\vspace{12pt}\goodbreak \subsection*{Oppgaver}
\begin{list}{\bf Oppgave \arabic{probnum}.\ }
{\usecounter{probnum}\setlength{\itemsep}{6pt}}}{\end{list}\vfill\eject}

\newcommand{\oppgave}{\item}

\newenvironment{deloppgaver}{\begin{list}{\alph{subprobnum})}
{\usecounter{subprobnum}\setlength{\topsep}{3pt}
\setlength{\itemsep}{1.5pt}}}{\end{list}}

\newcommand{\deloppgave}{\item}

\renewcommand*{\chaptitlefont}{\Large\bfseries\sffamily\raggedright}
\setsecheadstyle{\large\bfseries\sffamily\raggedright}
\setsubsecheadstyle{\large\bfseries\sffamily\raggedright}
\setsubsubsecheadstyle{\normalsize\bfseries\sffamily\raggedright}
\setparaheadstyle{\normalsize\bfseries\sffamily\raggedright}
\setsubparaheadstyle{\normalsize\bfseries\sffamily\raggedright}
\setbeforesubsubsecskip{2ex}
\setaftersubsubsecskip{1ex}


\pretolerance = 2000
\tolerance    = 6000
\hbadness     = 6000


\renewcommand{\sfdefault}{phv}
\definecolor{uiolink}{HTML}{0B5A9D}

\lstdefinelanguage{matlab}
{
  morekeywords={for,def,if,while,do,break,return,from,import,try,except,else,elif},
  sensitive=false,
  morecomment=[l]{\#}
}
  
\lstset{language=matlab,
  backgroundcolor=\color[rgb]{.95,.95,.95},
  numbers=left,xleftmargin=10pt,
  numberstyle=\tiny,stepnumber=1,numbersep=5pt,
  stringstyle=\color{red},
  basicstyle=\footnotesize \ttfamily,
  keywordstyle=\color{blue},
  commentstyle=\color{green},
  basewidth=0.60em,
  showstringspaces=false,
  captionpos=b,
  frame=single
}

\begin{document}
\begin{titlingpage}
    \vspace*{-8em}
    \setlength{\parskip}{1.5ex plus 0.5ex minus 0.2ex}
    \setlength{\parindent}{0pt}

    \begin{flushright}
        \small\today
    \end{flushright}

    \begin{center}
        \vspace{2em}
        {
            \bfseries\sffamily\huge
            MAT-INF 1100
            %% Alternativt:
            %% EMNEXXXX \textthreequartersemdash\ NAVN P{\AA} EMNE
        }
        \vskip0.2ex
        \Large
        Obligatorisk oppgave 2 av 2 \\
        \vspace{1ex}
    \end{center}

    \subsubsection*{Innleveringsfrist}
    Torsdag 5. november \the\year, klokken 14:30 i Canvas
    (\href{https://canvas.uio.no}{\underline{canvas.uio.no}}).

    \subsubsection*{Instruksjoner}
    Du velger selv om du skriver besvarelsen for h{\aa}nd og scanner besvarelsen eller om du skriver l{\o}sningen direkte inn p{\aa} datamaskin (for eksempel ved bruk av \LaTeX).
    Besvarelsen skal leveres som {\'e}n PDF-fil.
    Scannede ark m{\aa} v{\ae}re godt lesbare.
    Besvarelsen skal inneholde navn, emne og oblignummer.

    Det forventes at man har en klar og ryddig besvarelse med tydelige begrunnelser.
    Husk {\aa} inkludere alle relevante plott og figurer.  
    Studenter som ikke f{\aa}r sin opprinnelige besvarelse godkjent, men som har gjort et reelt fors{\o}k p{\aa} {\aa} l{\o}se oppgavene, vil f{\aa} {\'e}n mulighet til {\aa} levere en revidert besvarelse.
Samarbeid og alle slags hjelpemidler er tillatt, men den innleverte besvarelsen skal v{\ae}re skrevet av deg og reflektere din forst{\aa}else av stoffet.
    Er vi i tvil om du virkelig har forst{\aa}tt det du har levert inn, kan vi be deg om en muntlig redegj{\o}relse.

    I oppgaver der du blir bedt om {\aa} programmere m{\aa} du legge ved programkoden og levere den sammen med resten av besvarelsen.
    Det er viktig at programkoden du leverer inneholder et kj{\o}reeksempel, slik at det er lett {\aa} se hvilket resultat programmet gir. 
    \subsubsection*{S{\o}knad om utsettelse av innleveringsfrist}
    Hvis du blir syk eller av andre grunner trenger {\aa} s{\o}ke om utsettelse av innleverings\-fristen, m{\aa} du ta kontakt med studieadministrasjonen ved Matematisk institutt (e-post: \href{mailto:studieinfo@math.uio.no}{studieinfo@math.uio.no}) i god tid f{\o}r innleveringsfristen. 

    For {\aa} f{\aa} adgang til avsluttende eksamen i dette emnet, m{\aa} man best{\aa} alle obliga\-toriske oppgaver i ett og samme semester.

    \subsubsection*{For fullstendige retningslinjer for innlevering av obligatoriske oppgaver, se her:}
    \begin{center}
        \href{http://www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}
        {\underline{www.uio.no/studier/admin/obligatoriske-aktiviteter/mn-math-oblig.html}}
        \vspace{1ex}        
        \vfill
        LYKKE TIL!
    \end{center}
\end{titlingpage}


\noindent
Tilleggstekst spesielt for emnet.
\begin{itemize}
    \item 
   Kravet for å få bestått er at omtrent 60 \% av oppgavene er godkjent og at du har gjort seriøse forsøk på alle deloppgavene. Alle deloppgaver vektes likt.     
    \item 
Det er også viktig at du skriver slik at det er lett for andre å forstå hva du mener og forklarer hvorfor du mener resultatene av kjøringer, plott og lignende er rimelige eller urimelige. Pass spesielt på at svarene på oppgavene kommer i kronologisk rekkefølge, det gjør det mye enklere for den som skal rette å finne fram i besvarelsen.
\end{itemize}


%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%\newpage


\begin{oppgaver}
\oppgave Ved hjelp av en GPS har vi målt farten $v$ til et objekt som beveger seg. Målingene er gjort ved $N+1$ tidspunkter $(t_i)_{i=0}^N$ slik at resultatet er en følge av tall-par $(t_i,v_i)_{i=0}^N$ der $v_i$ angir farten ved tidspunktet $t_i$.

\begin{deloppgaver}
\oppgave Gi en algoritme for å beregne en tilnærming til objektets akselerasjon $a(t)=v'(t)$ ut fra de beregnede verdiene $(t_i,v_i)$ av farten.

\oppgave Gi en algoritme for å beregne en tilnærming til objektets avstand $s(t)$ fra startpunktet ut fra de beregnede verdiene når $v(t)=s'(t)$ og $s(t_0)=0$.

\oppgave Fila 
\begin{center}
{\footnotesize
\url{http://www.uio.no/studier/emner/matnat/math/MAT-INF1100/h20/obligatoriske-oppgaver/running.txt} }
\end{center}
er en logfil fra en løpetur, der vi på hver linje finner kommaseparerte tid/fart-verdier. Du har lært at du kan lese inn verdiene fra denne fila i to
vektorer {\tt t} og {\tt v} ved hjelp av følgende kode:
\begin{lstlisting}
t = []
v = []
infile = open('running.txt','r')
for line in infile:
    tnext, vnext = line.strip().split(',')
    t.append(float(tnext))
    v.append(float(vnext))
infile.close()
\end{lstlisting}
Last ned fila {\tt running.txt} og kjør denne koden, og bruk algoritmene fra a) og b) til å lage to plott: Ett der du plotter objektets akselerasjon mot tid, og ett der du plotter
objektets avstand fra startpunktet mot tid.

Hvor lang var løpeturen?
\end{deloppgaver}

\newpage
\oppgave 
Vi har differensialligningen
\begin{equation}
x' = x(1/2-x), \quad x(0) = 1.    
\end{equation}

\begin{deloppgaver}
\oppgave
Finn løsningen $x(t)$ av differensialligningen analytisk. (Hint: Ligningen er separabel.)

\oppgave
Løs ligningen numerisk på intervallet $[0, 3]$ ved å ta 6 steg med
Eulers metode (med kalkulator eller datamaskin). Plott den numeriske løsningen sammen med den eksakte løsningen (for hånd
eller ved hjelp av datamaskin).

\oppgave 
Gjenta (b), men bruk Eulers midtpunktmetode istedenfor Euler's
metode. Plott den numeriske løsningen du nå får sammen med
løsningene du plottet i (b).

\oppgave 
Forklar hvorfor løsningen $x(t)$ alltid vil være begrenset av $1/2 \leq
x(t) \leq 1$ for $t \geq 0$. Gjelder den samme begrensningen for Eulers
metode for steglengden fra b), uansett hvor mange tidssteg du tar? Begrunn
svaret ditt.

\end{deloppgaver}

\end{oppgaver}


\end{document}