\documentclass[11pt,a4paper]{report}

\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[norsk]{babel}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{amsmath} % For \mathbb
\usepackage{amsfonts}
\usepackage{hyperref}


%% Numbered exercises
\newcounter{excount}[chapter]
\newenvironment{exercise}[1][]{\addtocounter{excount}{1} \noindent {\bf Oppgave
    \arabic{excount} \ \ #1}\hspace{2mm}}{\vspace{4mm}}


\title{Midtermineksamen FYS3110\\ Haust 2020}
\author{}


\begin{document}

\maketitle

\addtocounter{page}{1}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Preamble
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\section*{Viktig informasjon:}
\begin{itemize}
\item
Besvarelsen skal leverast elektronisk som pdf-fil i Inspera, anten generert frå \LaTeX\ eller scannet, seinast fredag 9. oktober klokka 14.00.
\item
Fristen er absolutt, men du kan levera eksamen fleire gonger. Berre den siste innsendinga vil bli vurdert.
\item
Denne midtermineksamen tel omlag 25\% av den totale karakteren i FYS3110.
\item
Du står fritt til å bruka alle hjelpemiddel, og du har høve til å samarbeida med medstudentane dine for å løysa oppgåvene. Likevel må besvarelsen vera din eigen, og dei vanlege reglane for plagiat gjeld for innhaldet.
\item
Høgaste moglege poengsum for denne eksamenen er 25 poeng. Opp til eitt poeng vil bli gitt for klare, konsise og velformulerte svar, inkludert passande figurar og/eller diagram.
\item
Ei lita åtvaring: det er ikkje gitt at oppgåvene denne gongen går frå middels vanskeleg til meir utfordrande, vanskegrada er litt fram og tilbake, og dei fleste av oppgåvene kan gjerast utan å ha fått til alle tidlegare.
\item
Lykke til!
% Ikkje at du treng det sjølvsagt
\end{itemize}

\cleardoublepage




%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{exercise}{\bf Ein super symmetri\\}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


Vi definerar to operatorar 
\begin{equation}
\hat A \equiv i\frac{\hat p}{\sqrt{2m}}+W(\hat x), 
\quad \text{og} \quad
\hat A^\dagger = -i\frac{\hat p}{\sqrt{2m}}+W(\hat x),
\end{equation}
der $W$ er ein differensierbar funksjon av ein variabel.

\begin{itemize}
\item[{\bf a)}] 
Vis at Hamiltonoperatorane 
\begin{equation}
    \hat H_-\equiv \hat A^\dagger\hat A = \frac{\hat p^2}{2m}+V_-(x)
    , \quad \text{og} \quad
    \hat H_+\equiv \hat A\hat A^\dagger= \frac{\hat p^2}{2m}+V_+(x),
    \label{eq:Hamilton_def}
\end{equation}
der $m$ blir tolka som massen til ein partikkel, er hermitiske, og finn $V_-$ og $V_+$ uttrykt ved $W$ i posisjonsbasisen. 
[3 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf b)}] 
Vis at dersom $|n^-\rangle$ er ein normert eigentilstand til $\hat H_-$ med eigenverdi $E_n$ så er $\hat A|n^-\rangle$ ein eigentilstand til $\hat H_+$  med same eigenverdi, og vis at dersom $|m^+\rangle$ er ein normert eigentilstand til $\hat H_+$ med eigenverdi $E_m$, så er $\hat A^\dagger|m^+\rangle$ ein eigentilstand til $\hat H_-$ med same eigenverdi. Finn den korrekte normeringa for båe dei nye tilstandane. [3 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf c)}] Vis at eigenverdiane til $\hat H_-$ og $\hat H_+$ aldri er negative. [2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf d)}] Gitt at det finst ein vakuumtilstand $|0\rangle$ for $\hat H_-$ med den lågast moglege eigenverdien $E_0=0$, vis at $\hat A|0\rangle$ er nullvektoren. Kommenter svaret i ljos av oppgåve {\bf b)}. [2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf e)}] Bruk resultatet i oppgåve {\bf d)} til å finna bølgjefunksjonen for ein eigentilstand $|0\rangle$ til $\hat H_-$ med energi $E_0=0$, uttrykt ved hjelp av $W(x)$. Kva slags krav må vi stilla til $W(x)$ for at denne bølgjefunksjonen skal vera normerbar? [3 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf f)}] Kan vakuumtilstandane til $\hat H_-$ og $\hat H_+$ båe ha null energi? Grunngi svaret. [1 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf g)}] Gitt potensialet 
\begin{equation}
V(x)=V_0\left(\frac{2}{\sin^2\frac{\pi x}{a}}-1\right),
\end{equation}
definert på intervallet $(0,a)$,\footnote{Og uendeleg utanfor.} vis at Hamiltonoperatoren til systemet kan skrivast på same form som ein av Hamiltonoperatorane i  (\ref{eq:Hamilton_def}). Finn den tilhøyrande funksjonen $W(x)$ og botnpunktet $V_0$. {\it Hint:}
\begin{equation}
\frac{d}{dx}\frac{1}{\tan x}=-\frac{1}{\sin^2x}.
\end{equation} [2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf h)}]
Finn alle eigenverdiane til Hamiltonoperatoren til systemet i {\bf g)}, og dessutan eksplisitte uttrykk for dei tilhøyrande normerte bølgjefunksjonane. Du kan anta at alle løysingane i kap.\ 2 i Griffiths er kjende.
[3 poeng]
\end{itemize}

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
Vi kan samla dei to Hamiltonoperatorane i
\begin{equation}
    \hat H = \left[\begin{matrix} \hat H_- & 0 \\ 0 & \hat H_+ \end{matrix}\right],
\end{equation}
for å studera begge systema samtidig, der dei tidlegare tilstandane no er komponentar i ein to-komponents vektor som den nye Hamiltonoperatoren $\hat H$ verkar på. Vi definerar samstundes to nye operatorar
\begin{equation}
    \hat Q \equiv \left[\begin{matrix} 0 & 0 \\ \hat A&0 \end{matrix}\right]
    \quad \text{og} \quad
    \hat Q^\dagger= \left[ \begin{matrix} 0 & \hat A^\dagger \\ 0 & 0 \end{matrix} \right].
\end{equation}

\begin{itemize}
\item[{\bf i)}] Vi kallar
\begin{equation}
\{\hat A,\hat B\}\equiv\hat A\hat B+\hat B\hat A,
\end{equation}
for {\bf antikommutatoren} til operatorane $\hat A$ og $\hat B$. Vis at Hamiltonoperatoren kan skrivast som
\begin{equation}
\{\hat Q^\dagger,\hat Q\}=\hat H.\label{eq:Qantikom}
\end{equation}
[2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf j)}] Vis at $\hat Q$ og $\hat Q^\dagger$ kommuterar med Hamiltonoperatoren $\hat H$,
\begin{equation}
    [\hat Q, \hat H]=0.
\end{equation}
[2 poeng]

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\item[{\bf k)}] Gitt at $|n\rangle$ er ein eigentilstand til $\hat H$, vis at $\hat Q|n\rangle$ og $\hat Q^\dagger|n\rangle$ er eigentilstandar med same energi. Implikasjonen av dette er at $\hat Q$ representerer ein (super) symmetri for systemet beskrive av $\hat H$; energien er bevart under bruk av $\hat Q$ [1 poeng] 

\end{itemize}
\end{exercise}
\end{document}


% Bacon ipsum dolor amet boudin leberkas rump, prosciutto beef ribs cupim spare ribs meatball. Fatback kevin pork chop bresaola. Buffalo turkey corned beef capicola cupim. Pork capicola burgdoggen ribeye tail pancetta. Sirloin filet mignon turducken, shankle landjaeger prosciutto kielbasa bacon biltong strip steak salami doner capicola. Ground round pork bresaola, spare ribs jerky pork belly burgdoggen brisket tri-tip alcatra.